相似的平方数

编辑: 缅华网 文章类型:华文教育 发布于2024-04-17 15:25:41 共10187人阅读
文章导读

缅华网  江树报导

在研究平方数的表格时,有老师发现有 的自然数平方数很相似,例如13,14,

31这三个自然数的平方数都是由1, 6, 9这三个数组成:

132 = 169,142 = 196,312 = 961 

这些自然数,它们的平方数为什么这样相似呢?有的老师问道。

“13 和 14是两个连续自然数,它们的平方数中百位数都是1,十位数与个位数是互相对调。而13 和 31也是十位数和个位数互相对调的两个自然数,它们的平方数中十位数相同,百位数与个位数互相对调。”有的老师这样分析道。

但这只是这几个自然数中发现的情况,其他自然数中几乎没有见到这种情况。

“可以出这样的题目让学生们演算:两连续自然数的平方相差27,求这两自然数。”

这太容易了,一位老师这样说道,而且马上就写出有关算式:

设这两自然数为a,a + 1,则根据题意,( a + 1)2 – a2 = 27,由此可得2a + 1 = 27,

解这方程就可得a = 13,a + 1 = 14了。

“其实,a, a + 1任意两个连续自然数的平方差都是2a + 1,所以知道一个数的平方数后,其后连续几个数的平方也可以很容易地写出来了。”另一位老师这么说道,而且很快就举一个例子连续写出好几个自然数的平方数了。

例如:252 = 625,故262 = 625 + 25 + 26 = 676,272 = 676 + 26 + 27 = 729等等。 

“所以呀,不必去死背硬记这些平方数,只要知道一个自然数的平方数,你就可以连续找出好几个自然数的平方数了。”一位不赞成死背硬记平方数的老师就这样说道。

“还是回到刚才的问题吧,说两连续自然数的平方相差27,我们可以轻而易举地求得这两连续自然数是13,14。但假设不说是连续自然数,而只说两自然数的平方差为27,可以求出这两个自然数吗?”有一位老师问道。

“只知道一个条件,要找出两个未知数,不可能吧?”有的老师说道。

“也许可以吧,我在大学时就见到一位老师采用过因式分解的方法求解类似的问题,只是不知道他的这个算法正规不正规、正确不正确而已。”M老师说,接着他就介绍了这个因式分解的算法。

设这两个自然数为x与y,已知x2 – y2 = 27,

x2 – y2 可分解为(x + y)及(x – y)这两因式,而27可分解为1 x 27 及3 x 9,

x2 – y2 = 27

故x + y = 27 或 9 ------①

     x – y =   1或 3 -------②

方程① + ② 可得  2x = 28或12,由此可得x = 14或6

方程① – ② 可得 2y = 26或6,由此可得 y = 13 或3。

所以两个自然数的平方数相差为27的话,这两个自然数就是(13, 14)或(3, 6)。


“如果这个算法可行的话,那昨天我们争论的一个问题也可以解决了。”有两位老师这么说道。原来昨天他们发现49与51的平方数非常相似:492 = 2401,  512 = 2601,两个平方数相差200,他们就想:还有哪两个自然数的平方相差也是200,只是在平方数表格中一时找不出来,也不知要如何列式找出有关数值,现在可以用这方法找出来了。两位老师就开始列式算起来:

设两自然数x与y满足x2 – y2 = 200

则                                         x + y   = 200,100,50,40,25,20  

                                              x – y  =      1,    2,   4,  5       8,10 

x ,y必须是自然数,故只取x + y   = 100,50,20 -------①

                                                    x – y   =      2,     4,10 -------②

方程① + ② 可得                        2x   =  102或54或30,由此可得x = 51或27或15

方程① – ② 可得                         2y  =    98或46或10,由此可得 y = 49或23或10

故平方数相差为200的自然数有51与49,27与23,15与10


在这里计算平方数相差的问题时,有的老师已将他们寻找到的相似的平方数列出来了。

自然数12与21,它们的平方数分别为144及441。

自然数16与25,它们的平方数分别为256及625。

自然数36,54及96,它们的平方数分别为1296,2916及9216。

自然数32与49,它们的平方数分别为1024及2401。

自然数64与98,它们的平方数分别为4096及9604。

自然数33与99,它们的平方数分别为1089及9801。

这些数中,12与21是个位数与十位数互相对调的数,它们的平方数也是百位数与个位数互相对调的数。

54及96这两个自然数的平方数尾数相同,而千位数与百位数互相对调。

33与99,99是33的3倍,其的平方数是33的9倍。而1089这个平方数从后面倒过来念就是9801,这些奇特的现象,引人入胜,但要解释其原因,就不是那么容易的一件事了。


培训活动全部结束后,来授课的数学老师在启程回返台湾时动情地说,希望今后的培训活动,能多有这样的互动现象,而不是开课老师一人在台上讲解,学员们在课堂下记笔记而已。但没想到后来几年内新冠疫情突然爆发,类似的培训活动不得不停止了。


 
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